圓周運動

名詞

角速度 $\omega$
週期 $T$

推導

一個質點 $m$ 沿中心在原點，半徑為 $r$ 的圓運動，假設其角速度為 $\frac{d\theta}{dt}=\omega$
位置為

$$ \begin{cases} x=r\sin(\omega t)\\ y=r\cos(\omega t) \end{cases} $$

對時間微分得到速度：

$$ \begin{cases} v_x=r\omega\cos(\omega t)\\ v_y=-r\omega\sin(\omega t) \end{cases} $$

可以看出其速度方向平行於切線方向，且大小為 $\sqrt{v_x^2+v_y^2}=r\omega$
再一次微分得：

$$ \begin{cases} a_x=-r\omega^2\sin(\omega t)\\ a_y=-r\omega^2\cos(\omega t) \end{cases} $$

可以看出加速度的方向朝向圓心（向心加速度），可以計算大小為 $\sqrt{a_x^2+a_y^2}=r\omega^2$。可推得向心力為 $F=ma=mr\omega^2=mv^2/r$。