導數的運算法則

加法

$$ (f+g)' = f'+g' $$

減法

$$ (f-g)'=f'-g' $$

乘以常數(scale)

$$ (cf)'=cf' $$

兩函數相乘

$$ (fg)'=f'g+fg' $$

$(cf)'$ 是 $(fg)'$ 的一個特殊狀況，如果設 $f(x)=c$ 為常數函數，於是 $f'=0$。右式就變成：

$$ f'g+fg'=0\cdot g+cg'=cg' $$

鏈鎖律(chain rule)

$$ [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x) $$

用函數複合符號 $\circ$ 的話：

$$ (f\circ g)'=(f'\circ g)g' $$

另一個寫法：

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} $$

在形式看起來跟分數約分一模一樣。
舉例：
求 $y=\cos(x^2)$ 的導數：
以第一個寫法，$f(x)=\cos(x)$，$g(x)=x^2$，代入可得

$$ (\cos(x^2))'=\cos'(x^2)\cdot (x^2)' $$

第二個寫法，$y=\cos(x^2)$，$u=x^2$，代入得

$$ \frac{d}{dx}\cos(x^2)=\frac{d(\cos(x^2))}{d(x^2)}\cdot\frac{d(x^2)}{dx} $$

兩個寫法最終都得到導數是 $-2x\sin(x^2)$。