導數的運算法則

加法

$$ (f+g)' = f'+g' $$

減法

$$ (f-g)'=f'-g' $$

乘以常數(scale)

$$ (cf)'=cf' $$

兩函數相乘

$$ (fg)'=f'g+fg' $$ $(cf)'$ 是 $(fg)'$ 的一個特殊狀況，如果設 $f(x)=c$ 為常數函數，於是 $f'=0$。右式就變成： $$ f'g+fg'=0\cdot g+cg'=cg' $$

鏈鎖律(chain rule)

$$ [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x) $$ 用函數複合符號 $\circ$ 的話： $$ (f\circ g)'=(f'\circ g)g' $$ 另一個寫法： $$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} $$ 在形式看起來跟分數約分一模一樣。 舉例： 求 $y=\cos(x^2)$ 的導數： 以第一個寫法，$f(x)=\cos(x)$，$g(x)=x^2$，代入可得 $$ (\cos(x^2))'=\cos'(x^2)\cdot (x^2)' $$ 第二個寫法，$y=\cos(x^2)$，$u=x^2$，代入得 $$ \frac{d}{dx}\cos(x^2)=\frac{d(\cos(x^2))}{d(x^2)}\cdot\frac{d(x^2)}{dx} $$ 兩個寫法最終都得到導數是 $-2x\sin(x^2)$。