用歐拉公式證明和角公式

歐拉公式： $$ e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta $$ 可以利用： $$ e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta} $$ 左邊可以寫成： $$ e^{i(\alpha+\beta)}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) $$ 右邊： $$ e^{i\alpha}e^{i\beta}=(\cos \alpha+i\sin \alpha)(\cos\beta +i\sin\beta) $$ 展開得： $$ (\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) $$ 藉由比較實部與虛部可得： $$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$ $\tan(\alpha+\beta)$ 可由 $\sin(\alpha+\beta)/\cos(\alpha+\beta)$ 得到，可以分子分母同除 $\cos\alpha\cos\beta$： $$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} $$